La conjecture d’Henri Poincaré a tenu cent ans.

Plus de quatre-vingt-dix ans après sa mort, Henri Poincaré continue de donner du fil à retordre à l’élite de la communauté mathématique mondiale. Ce mathématicien de génie, cousin du président Raymond Poincaré, était un des derniers savants universels, brillant en mathématiques, en physique, comme en astronomie ou encore en philosophie.

Il a émis en 1904 une courte conjecture sur les formes géométriques à trois dimensions, qui porte depuis son nom. L’énoncé tient en deux lignes, mais sa résolution a résisté à un siècle d’efforts. Jusqu’aux trois publications de Grigori Perelman en 2002 et 2003.
Lors d’un colloque organisé au Collège de France à Paris en 2000, le Clay Mathematics Institute de Cambridge (Massachusetts) a inscrit la conjecture de Poincaré parmi les sept ” problèmes du millénaire “, offrant un million de dollars à toute personne trouvant une solution pour chacun des défis.

Un des sept ” problèmes du millénaire “

Ces énigmes mathématiques de haut niveau, dont font aussi partie l’hypothèse de Riemann, les équations de Navier-Stokes et la théorie Yang-Mills, sont évidemment hors de portée du grand public. Le problème de Poincaré semble être le premier du lot à être résolu, que Perelman accepte ou non le million de dollars promis.

Contrairement au théorème de Fermat datant du XVII e siècle, qui avait été résolu par le Britannique Andrew Wiles en 1995 et dont l’énoncé est parfaitement compréhensible par les non-spécialistes (1), la conjecture de Poincaré est très hermétique. Dans un langage mathématique moderne, celui de la topologie, la discipline de la géométrie qui étudie les formes complexes, elle s’énonce de la forme suivante : ” Soit M une variété compacte de dimension 3, simplement connexe, alors M est homéomorphe à la sphère S3. ” En 1904, Henri Poincaré n’avait pas laissé de solution, expliquant avec clairvoyance que ” cette question nous entraînerait trop loin. “

Le problème s’attache en fait à caractériser la nature très particulière d’une sphère à trois dimensions et à décrire notamment ce qui la distingue d’autres formes plus complexes qui ont des trous, comme les tores (anneaux en forme de chambre à air).
(1) X n + Y n = Z n n’a aucune solution en nombres entiers pour n > 2.

En 2006, un consensus d’experts a conclu que le travail récent de Perelman en 2003 résolvait ce problème 8,9,10, près d’un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international des mathématiciens le 22 août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille, et laissé entendre qu’il refuserait également le prix Clay. Ce prix lui a été décerné le 18 mars 201011,12, prix accompagné d’une récompense d’un million de dollars, et il l’a effectivement refusé.

Cyrille VANLERBERGHE